Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，且在橢圓E上．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）已知垂直于x軸的直線交E于A、B兩點，垂直于y軸的直線交E于C、D兩點，與的交點為P，且，間：是否存在兩定點M，N，使得為定值？若存在，求出M，N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，兩定點，

【解析】

（1）利用焦點為，且在橢圓E上，利用橢圓定義，即得解;

（2）設出A，B，C，D坐標，利用，得到P在雙曲線上，結合雙曲線定義，可得.

（1）由題意得，，橢圓的兩焦點為和，

因為點在橢圓C上，

所以根據橢圓定義可得：，

所以，所以，

所以橢圓E的標準方程為．

（2）設，

則，

消去，得，

所以點P在雙曲線上，

因為T的兩個焦點為，實軸長為，

所以存在兩定點，

使得為定值．