已知函數
為自然對數的底數）．
（1）求曲線
在
處的切線方程；
（2）若
是
的一個極值點，且點
，
滿足條件：
.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求證：點
，
，
是三個不同的點，且構成直角三角形．
（1）
；（2）（ⅰ）
；（ⅱ）參考解析
解析試題分析：（1）由函數，求函數的導數，并計算
即所求切線方程的斜率，又過點
.即可求出結論.
（2）（ⅰ）由（1）得到的函數的導數，即可求出函數的單調區間，從而得到函數的極值點，即得到的值.
（ⅱ）需求證：點，，是三個不同的點，通過分類每兩個點重合，利用已知條件即方程的根的個數來判定即可得到三點是不同點的點.通過向量的數量積可得到三點可構成直角三角形.
（1）
， 2分
，又
， 4分
所以曲線在處的切線方程為
，
即． 5分
（2）（ⅰ）對于，定義域為
．
當
時，
，
，∴
；
當
時，
；
當
時，
，
，∴
， 8分
所以存在唯一的極值點
，∴，則點
為
． 9分
（ⅱ）若
，則
，
，
與條件
不符，從而得
．
同理可得
． 10分
若
，由
，此方程無實數解，
從而得
． 11分
由上可得點，，兩兩不重合．
又
從而
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
（1）若函數
在
上是減函數，求實數
的取值范圍；
（2）是否存在實數，當
（
是自然常數）時，函數
的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（3）當時，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若函數y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數y＝f(x)的極值點．已知a，b是實數，1和－1是函數f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點．
(1)求a和b的值；
(2)設函數g(x)的導函數g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2013•天津）已知函數f（x）=x2lnx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）證明：對任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（3）設（2）中所確定的s關于t的函數為s=g（t），證明：當t＞e2時，有
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某風景區在一個直徑AB為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路（如圖所示）．在點A與圓
弧上的一點C之間設計為直線段小路，在路的兩側邊緣種植綠化帶；從點C到點B設計為沿弧
的弧形小路，在路的一側邊緣種植綠化帶．（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）
（1）設
（弧度），將綠化帶總長度表示為
的函數
；
（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大．
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函數
在
處取得極值1.
在區間[-2，2]上的最大值．
.
在點
處與直線
相切，求a，b的值；
的單調區間．
．若曲線
在點
處的切線與直線
垂直，
的值；
的單調區間；
．
的遞減區間；
上的最值．