Question

已知等比數列{a_n}的各項均為不等于1的正數，數列{b_n}滿b_n=lga_n，b₃=18，b₆=12，則數列{b_n}前n項和的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意可知：lga₃=b₃，lga₆=b₆．再由b₃，b₆，用a₁和q表示出a₃和b₆，進而求得q和a₁，根據{a_n}為正項等比數列推知{b_n}為等差數列，進而得出數列b_n的通項公式和前n項和，可知S_n的表達式為一元二次函數，根據其單調性進而求得S_n的最大值．

解答：解：由題意可知：lga₃=b₃，lga₆=b₆．
又因為b₃=18，b₆=12，所以a₁q²=10¹⁸，a₁q⁵=10¹²，
所以q³=10^-6，即q=10^-2，∴a₁=10²²．
又因為數列{a_n}為等比數列，
所以數列{b_n}是等差數列，并且且d=-2，b₁=22，
所以b_n=22+（n-1）×（-2）=-2n+24．
∴S_n=22n+

n(n-1)

2

×（-2）=-n²+23n=-(n-

23

2

)2+

529

4

，
又因為n∈N^*，所以n=11或12時，數列{b_n}前n項和的最大值為132．
故答案為132．

點評：本題主要考查了等比數列的性質．屬基礎題．