Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）若函數為定義域上的單調函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若函數存在兩個極值點， ，且，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）．（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求得函數的定義域與導函數，然后結合判別式判斷導函數的符號，得到函數的單調性，從而求得的取值范圍；（Ⅱ）首先將問題轉化為有兩個不等的實根， ，由此得到的范圍，從而得到， 的范圍，然后根據的表達式構造新函數，由此通過求導研究新函數的單調性使問題得證．

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為，

由題意，

．

①若，即，則恒成立，

則在上為單調減函數；

②若，即，方程的兩根為， ，當時， ，所以函數單調遞減，當時， ，所以函數單調遞增，不符合題意．

綜上，若函數為定義域上的單調函數，則實數的取值范圍為．

（Ⅱ）因為函數有兩個極值點，所以在上有兩個不等的實根，

即在有兩個不等的實根， ，

于是， 且滿足， ，

，

同理可得．

，

令， ．

， ，

∵，∴，

又時， ，∴，則在上單調遞增，

所以，即，得證．