Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面，，，， ， ，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形和等比三角形的性質(zhì)，證得，再利用線面平行的判定定理，即可證得平面.

（2）由（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）在中，因?yàn)?/span>，，，

所以，，

在中，因?yàn)?/span>，，，

由余弦定理得，

所以，所以，則是直角三角形，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>，所以是等邊三角形，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

則，，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則即設(shè)，則，，所以，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.