Question

（2012•德陽二模）已知x₁，x₂為三次函數f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx的兩個極值點，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則a-2b的范圍是（　　）

A．（-5，-2）

B．（-2，-1）

C．（-5，-1）

D．（-∞，-1）

Answer 1

分析：根據極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導函數等于零的兩個根，根據根的分布建立不等關系，畫出滿足條件的區域，明確目標函數的幾何意義，即可求得結論．

解答：解：求導函數可得f'（x）=x²+ax+2b
依題意知，方程f'（x）=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
等價于f'（0）＞0，f'（1）＜0，f'（2）＞0．
∴

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

．
滿足條件的（a，b）的平面區域為圖中陰影部分，
三角形的三個頂點坐標為（-1，0），（-2，0），（-3，1），
分別代入a-2b得：-1-2×0=-1，-2-2×0=-2，-3-2×1=-5．
∴a-2b的范圍是（-5，-1），
故選C．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區域，屬于中檔題．