Question

【題目】設Sn為數列{an}的前n項和．已知．

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）令，求數列{bn}的前n項和Tn．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an=2n+1；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）依題意有an2+2an=4Sn+3①，當n≥2時an-12+2an-1=4Sn-1+3②，兩式對應相減an-an-1-2=0（n≥2），再利用等差數列的通項求{an}的通項公式；（Ⅱ）由題得=（-），再利用裂項相消法求數列{bn}的前n項和Tn．

（Ⅰ）依題意有an2+2an=4Sn+3①

當n=1時a12+2a1=4S1+3，解得a1=3，

當n≥2是an-12+2an-1=4Sn-1+3②，

①-②得（an+an-1）（an+an-1-2）=0，

∵an＞0，

∴an+an-1＞0，

∴an-an-1-2=0（n≥2），

∴{an}成等差數列，得an=3+2（n-1）=2n+1．

（Ⅱ）===（-），

∴數列{bn}的前n項和Tn=（1-++…+-）=（1-）=