Question

設函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），且當x∈[1，3）時，f（x）=lnx．若在區(qū)間[1，9）內(nèi)，存在3個不同的實數(shù)x₁，x₂，x₃，使得

f(x1)

x1

=

f(x2)

x2

=

f(x3)

x3

=t，則實數(shù)t的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：可以根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-tx有三個不同零點，可轉化成“f（x）-tx=0在區(qū)間[1，9）上有三個解，利用數(shù)形結合，即可求出所求．

解答： 解：設x∈[3，9），則

x

3

∈[1，3），
∵x∈[1，3），f（x）=lnx，
∴f（

x

3

）=ln

x

3

，
∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），
∴f（x）=

lnx， 1≤x≤3 ln x 3 ， 3≤x＜9

，
∵在區(qū)間[1，9）內(nèi)，存在3個不同的實數(shù)x₁，x₂，x₃，使得

f(x1)

x1

=

f(x2)

x2

=

f(x3)

x3

=t，
∴f（x）-tx=0在區(qū)間[1，9）上有三個解，
則y=t與h（x）=

f(x)

x

的圖象有三個交點，
當x∈[1，3），h（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
∴當x∈[1，e）時，h′（x）＞0，
當x∈（e，3）時，h′（x）＜0即函數(shù)h（x）=

f(x)

x

在[1，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，
∴當x=e處，函數(shù)h（x）=

f(x)

x

在[1，3）上取最大值是

1

e

，
當x∈[3，9），h（x）=

f(x)

x

=

ln x 3

x

，則h′（x）=

1-ln x 3

x2

=0，解得x=3e，
∴當x∈[3，3e）時，h′（x）＞0，當x∈（3e，9）時，h′（x）＜0，
即函數(shù)h（x）=

ln x 3

x

在[3，3e）上單調(diào)遞增，在（3e，9）上單調(diào)遞減，
∴當x=3e處，函數(shù)h（x）=

ln x 3

x

在[3，9）上取最大值

1

3e

，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及h（1）=0，h（e）=

1

e

，h（3）=0，h（3e）=

1

3e

，h（9）=

ln3

9

，畫出函數(shù)的圖象，
根據(jù)圖象可知y=t與h（x）在[1，3）上一個交點，在[3，3e） 上兩個交點，
∴在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-tx有三個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

ln3

9

，

1

3e

）．
故答案為：（

ln3

9

，

1

3e

）

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關系，同時考查了運算求解的能力，體現(xiàn)了化歸與轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于難題．