Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

1

sinB

．
（1）求證：0＜B≤

π

3

；
（2）若sinB=

7

4

，且

BA

•

BC

=

3

2

，求|

BC

+

BA

|的值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的求值,解三角形

分析：（1）已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則計算，整理后利用正弦定理化簡得到關系式，再利用余弦定理列出關系式，將得出的關系式代入并利用基本不等式變形求出cosB的范圍，即可確定出B的范圍；
（2）由sinB的值，確定出cosB的值，已知等式左邊利用平面向量的數量積運算法則計算求出ac的值，進而確定出b的值，利用余弦定理求出a²+c²的值，所求式子平方后，利用完全平方公式展開，利用平面向量的數量積運算法則計算，將各自的值代入計算，開方即可求出值．

解答： 解：（1）∵

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

1

sinB

，
∴sinAsinC=sin²B，
由正弦定理可得，b²=ac，
∵b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2accosB，
∴cosB≥

1

2

，即0＜B≤

π

3

；
（2）∵sinB=

7

4

，且b²=ac，
∴B不是最大角，
∴cosB=

1-sin2B

=

3

4

，
∴

BA

•

BC

=cacosB=

3

4

ac=

3

2

，即ac=2，
∴b²=2，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²=5，
則|

BC

+

BA

|²=a²+c²+2

BC

•

BA

=a²+c²+2accosB=8，
即|

BC

+

BA

|=2

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．