Question

【題目】在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：BD⊥EG；
（3）求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，

∵BC=2AD，G為BC的中點，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DG

因為AB不在平面DEG中，DG在平面DEG內，∴AB∥平面DEG

（2）證明：∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，

∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA兩兩垂直．

以點E為坐標原點，EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

由已知得：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），G（2，2，0）．

∵ ，∴

∴BD⊥EG．

（3）解：由已知得 是平面EFDA的法向量，設平面DCF的法向量為

∵ ，∴ ，令z=1，得x=﹣1，y=2，即 ．

設二面角C﹣DF﹣E的大小為θ，

則 ，∴

∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值為 ．

【解析】（1）要證AB∥平面DEG，可在平面DEG中找到一條直線與AB平行，根據題目給出的條件，能夠證得AB∥DG；（2）根據題目條件先證明EB、EA、EF兩兩相互垂直，然后以E為原點，以EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，運用向量數量積等于0 ，從而證明BD⊥EG；（3）在（2）的基礎上，求出二面角的兩個半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值．