Question

【題目】已知圓心為C的圓經過O（0，0））和A（4，0）兩點，線段OA的垂直平分線和圓C交于M，N兩點，且|MN|=2
（1）求圓C的方程
（2）設點P在圓C上，試問使△POA的面積等于2的點P共有幾個？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：OA的中點坐標為（2，0）．則直線MN的方程為x=2，

設圓心C （2，b），

又∵直徑|MN|=2 ，∴|CO|= ，∴（2﹣0）2+b2=5．

解得b=1或﹣1

∴圓心C （2，1）或C（2，﹣1）．

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x﹣2）2+（y+1）2=5．

（2）解：|OA|=4， ，∴h=1，

∴點P到直線OA的距離為1

又因為圓心C到直線OA的距離為1

圓心的半徑為 ，而

所以，圓C上共有四個點P使△POA的面積為2

【解析】（1）求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；（2）求出圓心C到直線OA的距離為1，點P到直線OA的距離為1，即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與圓的三種位置關系的相關知識，掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．