Question

如圖，△ABC是圓的內接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F，在上述條件下，給出下列四個結論：
①BD平分∠CBF；
②FB²=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正確結論的序號是（　�。�

• A、①②
• B、③④
• C、①②③
• D、①②④

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,命題的真假判斷與應用

專題：直線與圓

分析：本題利用角與弧的關系，得到角相等，再利用角相等推導出三角形相似，得到邊成比例，即可選出本題的選項．

解答： 解：∵圓周角∠DBC對應劣弧CD，圓周角∠DAC對應劣弧CD，
∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD對應劣弧BD，圓周角∠BAD對應劣弧BD，
∴∠FBD=∠BAF．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAF=∠DAC．
∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即結論①正確．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由

FB

FA

=

FD

FB

，FB²=FD•FA．即結論②成立．
由

BF

AF

=

BD

AB

，得AF•BD=AB•BF．即結論④成立．
正確結論有①②④．
故答案為D

點評：本題考查了弦切角、圓周角與弧的關系，還考查了三角形相似的知識，本題總體難度不大，屬于基礎題．