Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓的兩焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)恰為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）動(dòng)直線與拋橢圓相交于，兩點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)（其中，使得向量與向量共線（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為，再由離心率得出關(guān)系，求出值，即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)與角平分線共線，又與共線，得到軸為的角平分線，轉(zhuǎn)化為的傾斜角互補(bǔ)，斜率和為零，聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用根與系數(shù)，將斜率和轉(zhuǎn)化為關(guān)系，即可求解.

（1）橢圓的離心率為，

即有，

橢圓的兩焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)恰為，

可得，解得，，

則橢圓的方程為；

（2）在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)（其中，

使得與向量共線，

由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，

可得軸平分，

設(shè)，，，，

聯(lián)立和，

得，

△恒成立.

，①

設(shè)直線、的斜率分別為，，

則由得，

，

，②

聯(lián)立①②，得，

故存在滿足題意，

綜上，在軸上存在一點(diǎn)，使得軸平分，

即與向量共線.