Question

【題目】已知中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，若的面積為，求直線l與y軸交點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設出橢圓的方程，將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關于橢圓的三個參數的等式，解方程組求出的值，代入橢圓方程即可.（2）設出直線的方程將直線方程與橢圓方程聯立，消去得到關于的二次方程，利用韋達定理得到關于兩個交點的坐標的關系，將直線的斜率用坐標表示據已知三個斜率成等比數列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出的值，利用判別式大于 得到的范圍，將面積表示出來，得到的等式，解出，即可得到直線l與y軸交點的坐標.

（1）設橢圓方程為：，

橢圓的離心率為，過點，

，解得，

橢圓的方程為：.

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，

設直線的方程為：，

，消得，，

且，

，

直線的斜率依次成等比數列，

，，

又，，即，

直線的斜率存在，且，得且.

設為點到直線的距離，

或，

直線與軸交點的坐標為：.