Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A，B，直線AB被圓O：x2+y2=1截得的弦長為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)B且斜率為k的動直線l與橢圓C的另一個交點(diǎn)為M， =λ（ ），若點(diǎn)N在圓O上，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，∴a=2b，

∴直線AB的方程為 ，即x+2y﹣2b=0，

圓心O（0，0）到直線AB的距離為d= ，∴ ，得b=1，

橢圓C的方程為

（2）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0）（y0≠0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（λx0，λ（y0+1）），

∴ ，得 ，

又 ，

∴ ，y0∈（﹣1，1），得 ，

∴正實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[ ）

【解析】（1）由題意離心率可得a=2b，設(shè)出AB所在直線方程，由圓心到直線的距離求得b，則橢圓方程可求；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0 ， y0）（y0≠0），由已知向量等式得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（λx0 ， λ（y0+1）），結(jié)合N在圓上，M在橢圓上，分離參數(shù)λ求解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．