Question

（2010•龍巖二模）過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于點(-1，

2

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點A（-2，0）的直線l與橢圓C交于兩點M、N，使得|FP|=

1

2

|MN|（其中P為弦MN的中點）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，得F（-1，0），由此解得a²=2，b²=1，從而能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，知-

2

2

＜k＜

2

2

，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，由P為MN的中點，且|FP|=

1

2

|MN|，知

FM

•

FN

=0，（1+k²）x₁x₂+（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²=0，由此能導出滿足條件的直線存在，并能求出其方程．

解答：解：（Ⅰ）依題意，得F（-1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 1 2b2 =1

，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設滿足條件的直線l存在，方程為y=k（x+2）（k必存在），
代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
∵△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴-

2

2

＜k＜

2

2

，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
∵P為MN的中點，且|FP|=

1

2

|MN|，
∴FM⊥FN，
∴

FM

•

FN

=0，
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）
=（1+k²）x₁x₂+（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²=0，
∴k2=

1

4

，k=±

1

2

，
滿足-

2

2

＜k＜

2

2

，
∴滿足條件的直線存在，其方程為y=±

1

2

(x+2)．
即滿足條件的直線方程為x+2y+2=0或x-2y+2=0．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識橢圓的體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．