Question

已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．


（１）求四棱錐P－ABCD的體積；
（２）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論；
（３）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小.

Answer 1

（１）（２）連結AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE（３）

試題分析：(1)由三視圖可知，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.                   1分
∴，即四棱錐P－ABCD的體積為.   3分
(2)不論點E在何位置，都有BD⊥AE.                   4分
證明如下：連結AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.          5分
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC.          6分

又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.          7分
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC.
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE.          8分
(3)解法1：在平面DAE內過點D作DF⊥AE于F，連結BF.
∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
從而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.
∴∠DFB為二面角D－AE－B的平面角．                 10分
在Rt△ADE中，DF＝＝＝， ∴BF＝.          11分
又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB＝，                12分
∴∠DFB＝，           
即二面角D－AE－B的大小為.                     13分
解法2：如圖，以點C為原點，CD，CB，CP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．則D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，               9分

從而＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為
，
由，取
由，取 11分
設二面角D－AE－B的平面角為θ，
則，    12分
∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小為     .    13分
點評：本題先由三視圖得到幾何體的特征，把握住CD,CB,CP兩兩垂直，因此可借助于空間向量法判定線面的垂直關系與求解二面角