Question

【題目】已知圓及直線，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．

（）求實(shí)數(shù)的值．

（）求過點(diǎn)并與圓相切的切線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，然后根據(jù)垂徑定理得到弦心距，弦的一半及圓的半徑成直角三角形，利用勾股對(duì)了列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，然后由大于0，得到滿足題意的值；（2）把（1）求出的值代入圓的方程中確定出圓的方程，即可得到圓心的坐標(biāo)，并判斷得到已知點(diǎn)在圓外，分兩種情況：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，得到為圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為，由和設(shè)出的寫出切線的方程，根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離，讓等于圓的半徑即可列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，把的值代入所設(shè)的切線方程即可確定出切線的方程.

試題解析：（）根據(jù)題意可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離，

由勾股定理可以知道，代入化簡(jiǎn)得，

解得或，

又，

所以．

（）由（）知圓，圓心為，半徑，

點(diǎn)到圓心的距離為，故點(diǎn)在圓外，

當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，則圓心到切線的距離，

化簡(jiǎn)得：，故．

∴切線方程為，

即，

當(dāng)切線方程斜率不存在時(shí)，直線方程為與圓相切，

綜上，過點(diǎn)并與圓相切的切線方程為或．