Question

【題目】（分）如圖，在三棱錐中，底面為等邊三角形，，，為的中點．

（Ⅰ）求證：．

（Ⅱ）判斷在線段上是否存在點（與點不重合），使得為直角三角形？若存在，試找出一個點，并求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）當時，為直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據正三角形的性質可得，根據勾股定理可得，由線面垂直證的判定定理可得平面，由線面垂直的性質可得結論；（2）在（1）基礎上可知平面與平面的垂直性，所以只需過作交線的垂線，由線線垂直線面垂直，再由線面垂直線線垂直，證明直角三角形的存在性，在上述條件下分別求出，，從而求出的值即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：如圖，連結，

∵在等邊中，是的中點，且，

∴，，

∵在直角中，是斜邊的中點，且，

∴，

在中，由，得，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴．

（Ⅱ）解：線段上存在點使得為直角三角形，此時，

如圖，過作于點，連結，

∵平面，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴，

即為直角三角形，

故當點與點重合時，為直角三角形，

在直角中，由，，，

得（即），（即），

當時，為直角三角形．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直性質與判定、線線垂直的證明，屬于難題. 證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質；（4）利用面面垂直的性質，當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.本題的解答一直圍繞線面垂直與線線垂直的互相轉化進行.