Question

．（本題14分）過點的橢圓（）的離心率為，橢圓與軸的交于兩點（，），（，）,過點的直線與橢圓交于另一點，并與軸交于點，直線與直線叫與點．
（I）當直線過橢圓右交點時，求線段的長；
（II）當點異于兩點時，求證：為定值．

Answer 1

解：（I）由已知得，解得
∴ 橢圓方程為 ，--------------------3分
右焦點為，直線的方程為 ，
代入橢圓方程化簡得 ，∴ ， -------4分
代入直線的方程得 ，，所以，D點坐標為．-------5分
故         -------------------7分
（II））當直線與軸垂直時與題意不符，                -------------------8分
當直線與軸不垂直時，設直線的方程為 （）-------9分
代入橢圓方程化簡得 ，
解得，                     
代入直線的方程得 ，         
所以，D點坐標為           -------------------11分
又直線的方程為 ，直線的方程為
聯立解得，              -----------------------------13分
因此點的坐標為（），又點坐標為()，
所以
故為定值．          -----------------------------14分

略