Question

在平面直角坐標系中，已知向量a＝(x，y－)，b＝(kx，y＋)(k∈R)，a⊥b，動點M(x，y)的軌跡為T.

(1)求軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀；

(2)當k＝時，已知點B(0，－)，是否存在直線l：y＝x＋m，使點B關于直線l的對稱點落在軌跡T上？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)∵ a⊥b，

∴a·b＝(x，y－)·(kx，y＋)＝0，

得kx²＋y²－2＝0，即kx²＋y²＝2，

當k＝0時，方程表示兩條與x軸平行的直線；

當k＝1時，方程表示以原點為圓心，以為半徑的圓；

當k＞0且k≠1時，方程表示橢圓；

當k＜0時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線.

(2)當k＝時，動點M的軌跡T的方程為＋＝1，設滿足條件的直線l存在，點B關于直線l的對稱點為B′(x₀，y₀)，則由軸對稱的性質可得：

＝－1，＝＋m，解得：

x₀＝－－m，y₀＝m，

∵點B′(x₀，y₀)在軌跡T上，

∴＋＝1，

整理得3m²＋2m－2＝0，

解得m＝或m＝－，

∴直線l的方程為y＝x＋或y＝x－，

經檢驗y＝x＋和y＝x－都符合題意，

∴滿足條件的直線l存在，其方程為y＝x＋或y＝x－.