Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an ， n∈N* ． 設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，已知b1≠0，2bn﹣b1=S1Sn ， n∈N*（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=bnlog3an ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1=3an ， ∴{an}是公比為3，首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列， ∴通項(xiàng)公式為an=3n﹣1 ．
∵2bn﹣b1=S1Sn ， ∴當(dāng)n=1時(shí)，2b1﹣b1=S1S1 ，
∵S1=b1 ， b1≠0，∴b1=1．
∴當(dāng)n＞1時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1 ， ∴bn=2bn﹣1 ，
∴{bn}是公比為2，首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式為bn=2n﹣1 ．
（Ⅱ）cn=bnlog3an=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1 ，
Tn=020+121+222+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①
2Tn=021+122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②
①﹣②得：﹣Tn=020+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n
=2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n
∴Tn=（n﹣2）2n+2．
【解析】（Ⅰ）判斷an}是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，判斷{bn}是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式為bn ． （Ⅱ）化簡cn的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求解Tn即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．