Question

已知橢圓的離心率為，

軸被拋物線截得的線段長等于的長半軸長.
（1）求的方程；
（2）設與軸的交點為，過坐標原點的直線
與相交于兩點，直線分別與相交于.   
①證明：為定值;
②記的面積為，試把表示成的函數，并求的最大值.

Answer 1

（1）
（2）利用直線與拋物線以及直線于橢圓聯立方程組來求解向量的坐標，利用數量積為零來證明垂直。當，即時，

試題分析：解：（1）由已知，，      ①           
在中，令，得②
由①②得，
                           
(2)由得
設，則             
而
  
 
（3）設在上，
即，，直線方程為：代入， 得，
，同理

由（2）知，，
令，
又在時，為增函數，，
當，即時，
點評：解決的關鍵是利用拋物線的性質和橢圓的性質得到方程的求解，以及聯立方程組來得到坐標，結合向量的數量積為零證明垂直，屬于基礎題。