Question

(12分) 如圖，設P是圓x²＋y²＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且MD＝PD.

（Ⅰ）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度．

Answer 1

(1)＋＝1.(2)AB＝.

解析試題分析：設M的坐標為(x，y)，P的坐標為(x_P，y_P)，然后利用MD＝PD,把P點坐標用M點的坐標表示出來，代入圓的方程即可得到動點M的軌跡方程.
(1)設M的坐標為(x，y)，P的坐標為(x_P，y_P)，
由已知得　∵P在圓上，
∴x²＋(y)²＝25，
即軌跡C的方程為＋＝1.
(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝ (x－3)，
設直線與C的交點為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，將直線方程y＝ (x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x²－3x－8＝0.
∴x₁＝，x₂＝.
∴線段AB的長度為
AB＝
＝
＝＝.
考點：求軌跡方程，圓和橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，兩曲線的交點.
點評：本小題屬于相關點法求軌跡方程要把主動點的坐標用被動點的坐標表示出來，然后再代入主動點所在曲線的方程即可求出動點的軌跡方程.在涉及直線與橢圓相交求弦長時要借助韋達定理及弦長公式，一般不考慮求交點坐標.