Question

(本題滿分12分)
已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓于A、B兩個不同點。
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

Answer 1

（1）；（2）；
（3）直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。

解析試題分析：（1）先設出橢圓的標準方程，根據題意聯立方程組，求得a和b，橢圓的方程可得．
（2）由點斜式設出直線l的方程與橢圓方程聯立消去y，根據判別式大于0求得k的范圍．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由根據韋達定理，分別求得x₁+x₂和x₁x₂進而表示出k₁和k₂，進而可求得k₁+k₂．從而確定三角形為等腰三角形。
解：（1）設橢圓方程為
則        ∴橢圓方程為
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m ； 又K_OM=

由
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，   

（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可
設  則
由可得  
而


故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。
考點：本試題主要考查了橢圓的應用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
點評：對于解析幾何問題關鍵是要設出直線方程并能利用設而不求的思想和韋達定理得到要求解的關系式，使我們必須要用到的重要的思想方法。