Question

已知曲線C：xy=1，過C上一點A_n（x_n，y_n）作一斜率為k_n=的直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1），點列{A_n}的橫坐標構成數列{x_n}，其中x₁=．
（I）求x_n與x_n+1的關系式；
（II）令b_n=+，求證：數列{b_n}是等比數列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ為非零整數，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得kn=-，利用k_n=，即可得到x_n與x_n+1的關系式；
（II）由b_n=+，可得b_n+1=-2（+），從而可得數列{b_n}是等比數列．
（III）c_n+1＞c_n成立等價于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立，即恒成立，對n討論，即可得到結論．
解答：（I）解：過C：xy=1上一點A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線交C于另一點A_n+1，則k_n=-
∵k_n=，∴-=
∴x_nx_n+1=-x_n+2；
（II）證明：∵b_n=+，∴b_n+1=+=+=-2（+），
∵x₁=，∴b₁=-2
∴數列{b_n}是等比數列．
（III）解：由（II）知，，則c_n+1＞c_n成立等價于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立
即恒成立
①n為奇數時，，∴，∴λ＜1；
②n為偶數時，，∴
∴
∵λ為非零整數
∴λ=-1．
∴λ=-1，對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．
點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查恒成立問題，正確求通項是關鍵．