Question

已知曲線C：xy=1，過C上一點A₁（x₁，y₁）作斜率k₁的直線，交曲線C于另一點A₂（x₂，y₂），再過A₂（x₂，y₂）作斜率為k₂的直線，交曲線C于另一點A₃（x₃，y₃），…，過A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線，交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1）…，其中x₁=1，kn=-

xn+1

x 2 n +4xn

(x∈N*)
（1）求x_n+1與x_n的關系式；
（2）判斷x_n與2的大小關系，并證明你的結論；
（3）求證：|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．

Answer 1

分析：（1）過A_n（x_n，y_n）斜率為-

xn+1

x 2 n +4xn

的直線為y-y_n=-

xn+1

x 2 n +4xn

（x-x_n），A_n+1在直線上，化簡即可求x_n+1與x_n的關系式；
（2）利用（1）的結論，分當n為奇數時，判斷x_n＜2；當n為偶數時，判斷x_n＞2，然后推理證明的結論；
（3）利用xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，再利用放縮法，推出|x_n-2|≤

1

2n-1

，再證明|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．

解答：解：（1）由已知過A_n（x_n，y_n）斜率為-

xn+1

x 2 n +4xn

的直線為y-y_n=-

xn+1

x 2 n +4xn

（x-x_n），
直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1）
所以y_n+1-y_n=-

xn+1

x 2 n +4xn

（x_n+1-x_n）（2分）
即

1

xn+1

-

1

xn

=-

xn+1

x 2 n +4xn

（x_n+1-x_n），x_n+1-x_n≠0，
所以xn+1=

xn+4

xn+1

(n∈N*)（4分）
（2）解：當n為奇數時，x_n＜2；當n為偶數時，x_n＞2（5分）
因為xn-2=

xn-1+4

xn-1+1

-2=-

xn-1-2

xn-1+1

，（6分）
注意到x_n＞0，所以x_n-2與x_n-1-2異號
由于x₁=1＜2，所以x₂＞2，以此類推，
當n=2k-1（k∈N^*）時，x_n＜2；
當n=2k（k∈N^*）時，x_n＞2（8分）
（3）由于x_n＞0，xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，
所以x_n≥1（n=1，2，3，）（9分）
所以|xn+1-2|=|

xn-2

xn+1

|=

|xn-2|

|xn+1|

≤

1

2

|xn-2|（10分）
所以|x_n-2|≤

1

2

|xn-1-2|≤

1

22

|xn-2-2|≤…≤

1

2n-1

|x1-2|=

1

2n-1

（12分）
所以|x₁-2|+|x₂+2|+…+|x_n-2|≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2-(

1

2

)n-1＜2（14分）

點評：本題考查直線的斜率，不等式的證明，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．