Question

已知曲線C：xy=1
（1）將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉45°后，求得到的曲線C^′的方程；
（2）求曲線C的焦點坐標和漸近線方程．

Answer 1

分析：（1）由題設條件求出旋轉矩陣M=

cos45° -sin45° sin45° cos45°

，經過T_M變換后

x   y

→

x′   y′

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

 

x   y

，代入曲線C的方程得y′²-x′²=2，從而求出所求；
（2）由（1）知，只須把曲線y²-x²=2的焦點、漸近線繞坐標原點順時針旋轉45°后，即可得到曲線C的焦點坐標和漸近線方程．

解答：解  （1）由題設條件，M=

cos45° -sin45° sin45° cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

，
T_M：

x   y

→

x′   y′

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

x   y

=

2 2 x - 2 2 2 x 2 + 2 2

，即有

x′= 2 2 x- 2 2 y y′= 2 2 x+ 2 2 y

，
解得

x= 2 2 (x′+y′) y= 2 2 (y′-x′)

，代入曲線C的方程為y′²-x′²=2．
所以將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉45°后，得到的曲線是y²-x²=2．…（5分）
（2）由（1）知，只須把曲線y²-x²=2的焦點、漸近線繞坐標原點順時針旋轉45°后，即可得到曲線C的焦點坐標和漸近線方程．
曲線y²-x²=2的焦點坐標是（0，-2），（0，2），漸近線方程x±y=0，
變換矩陣N=

cos(-45°) -sin(-45°) sin(-45°) cos(-45°)

=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

，

2 2 2 2 - 2 2 2 2

0   -2

=

- 2   - 2

，

2 2 2 2 - 2 2 2 2

0   2

=

2   2

，
即曲線C的焦點坐標是（-

2

，-

2

），（

2

，

2

）．而把直線x±y=0要原點順時針旋轉45°恰為y軸與x軸，因此曲線C的漸近線方程為x=0和y=0．…（10分）

點評：本題主要考查了矩陣的應用，同時考查了旋轉變換和雙曲線的性質，屬于基礎題．