Question

【題目】小張在淘寶網上開一家商店，他以10元每條的價格購進某品牌積壓圍巾2000條．定價前，小張先搜索了淘寶網上的其它網店，發現：A商店以30元每條的價格銷售，平均每日銷售量為10條；B商店以25元每條的價格銷售，平均每日銷售量為20條．假定這種圍巾的銷售量t（條）是售價x（元）（x∈Z+）的一次函數，且各個商店間的售價、銷售量等方面不會互相影響．
（1）試寫出圍巾銷售每日的毛利潤y（元）關于售價x（元）（x∈Z+）的函數關系式（不必寫出定義域），并幫助小張定價，使得每日的毛利潤最高（每日的毛利潤為每日賣出商品的進貨價與銷售價之間的差價）；
（2）考慮到這批圍巾的管理、倉儲等費用為200元/天（只要圍巾沒有售完，均須支付200元/天，管理、倉儲等費用與圍巾數量無關），試問小張應該如何定價，使這批圍巾的總利潤最高（總利潤=總毛利潤﹣總管理、倉儲等費用）？

Answer 1

【答案】
（1）解：設t=kx+b，∴ ，解得k=﹣2，b=70，∴t=70﹣2x．

y=（x﹣10）t=（x﹣10）（70﹣2x）=﹣2x2+90x﹣700，

∵ ，∴圍巾定價為22元或23元時，每日的利潤最高

（2）解：設售價x（元）時總利潤為z（元），

∴z=2000（x﹣10）﹣200

=2000（25﹣（（35﹣x）+ ））≤2000（25﹣ ）=10000元．

當35﹣x= 時，即x=25時，取得等號．

∴小張的這批圍巾定價為25元時，這批圍巾的總利潤最高

【解析】（1）根據題意先求出銷售量t與售價x之間的關系式，再利用毛利潤為每日賣出商品的進貨價與銷售價之間的差價，確定毛利潤y（元）關于售價x（元）（x∈Z+）的函數關系式，利用二次函數求最值的方法可求；（2）根據總利潤=總毛利潤﹣總管理、倉儲等費用，構建函數關系，利用基本不等式可求最值．