Question

【題目】已知數列滿足：對于任意且時，，．

（1）若，求證：為等比數列；

（2）若．

① 求數列的通項公式；

② 是否存在，使得為數列中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①，②.

【解析】試題分析：

(1)由等比數列的定義可證得為常數 ，則為等比數列；

(2)由題意累加可得

(3)假設存在實數k，得到關于k的不等式組，求解不等式組可得存在滿足題意.

試題解析：

（1）當時，且

∴為常數

∴為等比數列

（2）①當時，

∴

…………

∴

∵ ∴

又滿足上式，所以．

② 假設存在滿足條件的，不妨設，

∴ （*）

∴

∴ 即

由（1）得且 ∴ ∴

若，代入（*），解得：（舍）

∴即 ∴

∴ ∴ ∴

∵ ∴可取

代入（*）檢驗，解得：

∴存在滿足題意．