Question

【題目】已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.

【解析】

(解法1：利用一般式)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，解得

∴所求二次函數為f(x)＝－4x2＋4x＋7.

(解法2：利用頂點式)設f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對稱軸為x＝＝，即m＝；又根據題意，函數最大值ymax＝8，

∴n＝8，∴f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4.

∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

(解法3：利用兩根式)由題意知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數有最大值ymax＝8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函數的解析式為f(x)＝－4x2－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7