Question

（本小題共13分）
如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=
∠BAD=90°，為AB中點，F為PC中點.
（I）求證：PE⊥BC；
（II）求二面角C—PE—A的余弦值；
（III）若四棱錐P—ABCD的體積為4，求AF的長.

Answer 1

（I）證明見解析。
（II）
（III）

（I）
∴PA⊥BC


∴BC⊥平面PAB
又E是AB中點，
平面PAB
∴BC⊥PE.                                                                                     …………6分
（II）建立直角坐標系
則B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），

由（I）知，BC⊥平面PAE，
是平面PAE的法向量.
設平面PEC的法向量為
則


二面角C—PE—A的余弦值為                                             …………10分
（III）連結BC，設AB=a，

是直角三角形，
         …………13分