Question

【題目】已知△的三個內角、、所對應的邊分別為、、，復數，，（其中是虛數單位），且.

（1）求證：，并求邊長的值；

（2）判斷△的形狀，并求當時，角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2） 或.

【解析】

（1）利用余弦定理將中的用邊表示，化簡可證得；再將展開運算，利用復數相等，求出邊長c的值．

（2）結合（1）中的結論利用正弦定理可得，得到或，從而得到三角形的形狀，再利用直角三角形和等腰三角形的特點求得A．

（1）證明：由余弦定理得 ，

則

所以 ．

由題意得 ，

即 ，

由復數相等的定義可得

，且 ，

即 ．

（2）由（1）得 ．

由正弦定理得 ，

即 ．

因為 、，

所以 或 ，

即 或，即或．

所以 知等腰三角形或直角三角形．

當時， ，所以；

當時，，所以 ．