Question

【題目】將邊長(zhǎng)為正整數(shù)m、n的矩形劃分成若干邊長(zhǎng)均為正整數(shù)的正方形，每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長(zhǎng)之和的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

記所求最小值為，可以證明.（*）

事實(shí)上，不妨設(shè).

（1）對(duì)m歸納，可證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為.

當(dāng)m=1,時(shí)，命題顯然成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.當(dāng)時(shí)，若，則命題顯然成立，若，從矩形ABCD中切去正方形（如圖）.由歸納假設(shè)，矩形有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為.

于是，原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和為.

（2）對(duì)m歸納可以證明（*）成立.

當(dāng)m=1時(shí)，由于n=1，顯然.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有.

若，當(dāng)時(shí)，顯然

當(dāng)時(shí)，設(shè)矩形ABCD按要求分成了p個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)分別為.不妨設(shè).

顯然，或.

若，則在AD與BC之間的與AD平行的任一直線至少穿過二個(gè)分成的正方形（或其邊界），于是不少于AB與CD之和.

故.

若，則一個(gè)邊長(zhǎng)分別為m-n和n的矩形可按題目要求分成邊長(zhǎng)分別為的正方形，由歸納假設(shè).

從而，

于是，當(dāng)m=k+1時(shí)，

再由（1）可知，.