Question

平面內兩定點M（0，-2）和N（0，2），動點P（x，y）滿足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），動點P的軌跡為曲線E，給出以下五個命題：
①存在m，使曲線E過坐標原點；
②對于任意m，曲線E與x軸有三個交點；
③曲線E關于y軸對稱，但不關于x軸對稱；
④若P、M、N三點不共線，則△PMN周長的最小值為2

m

+4；
⑤曲線E上與M、N不共線的任意一點G關于原點對稱的點為H，則四邊形GMHN的面積不大于m．
其中真命題的序號是

 

（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用平面內兩定點M（0，-2）和N（0，2），動點P（x，y）滿足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），可得

x2+(y+2)2

•

x2+(y-2)2

=m，對選項進行分析，即可得出結論．

解答： 解：∵平面內兩定點M（0，-2）和N（0，2），動點P（x，y）滿足|

PM

|•|

PN

|=m（m≥4），
∴

x2+(y+2)2

•

x2+(y-2)2

=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正確；
②令y=0，可得x²+4=m，∴對于任意m，曲線E與x軸有三個交點，不正確；
③曲線E關于x軸對稱，但不關于y軸對稱，故不正確；
④若P、M、N三點不共線，|

PM

|+|

PN

|≥2

| PM |•| PN |

=2

m

，所以△PMN周長的最小值為2

m

+4，正確；
⑤曲線E上與M、N不共線的任意一點G關于原點對稱的點為H，則四邊形GMHN的面積為2S_△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四邊形GMHN的面積最大為不大于m，正確．
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查軌跡方程，考查命題的真假判斷，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．