Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）=f（-x-6），且當x≥-3時，f（x）=4^x+1-2，若存在k∈Z，使方程f（x）=0的實根x₀∈（k-1，k），則k的取值集合是（　�。�

A．{-5，-1}

B．{-3，0}

C．{-4，0}

D．{-5，0}

Answer 1

分析：由題意可得函數f（x）的圖象關于直線 x=-3對稱，當x≥-3時，由函數的解析式求得k=0．當x≤-3時，由函數f（x）的圖象的對稱性可得k=-5，由此求得k的取值集合．

解答：解：∵f（x）=f（-x-6），∴函數f（x）的圖象關于直線 x=-3對稱．
當x≥-3時，f（x）=4^x+1-2，由于f（-1）=-1，f（0）=2，∴f（-1）•f（0）＜0，故f（x）=0的實根x₀∈（-1，0），此時，k=0．
故當x≤-3時，由函數f（x）的圖象關于直線 x=-3對稱，可得f（x）=0的實根x₀∈（-6，-5），此時，k=-5，
綜上可得，k的取值集合是{-5，0}，
故選D．

點評：本題主要考查函數的圖象的對稱性，函數的零點的定義，判斷函數的零點所在的區間的方法，屬于基礎題．