Question

【題目】關于x的方程22x﹣（m﹣1）2x+2=0在x∈[0，2]時有唯一解，求m取值范圍．

Answer 1

【答案】解：令2x=t，則t∈[1，4]， ∴方程t2﹣（m﹣1）t+2=0在[1，4]上有唯一解．
①若△=（m﹣1）2﹣8=0，即m=1±2 時，
若m=1+2 ，則t= ，符合題意，
若m=1﹣2 ，則t=﹣ ，不符合題意．
②若△=（m﹣1）2﹣8＞0，即m＜1﹣2 或m＞1+2 時，
若t=1是方程的解，由根與系數的關系可知t=2也是方程的解，與方程在[1，4]上有唯一解矛盾；
若t=4是方程的解，由根與系數的關系可知t= 也是方程的解，符合題意；
此時m﹣1=4+ ，∴m= ．
若方程的解在（1，4）上，根據零點的存在性定理可知（4﹣m）（22﹣4m）＜0，
解得4＜m＜ ．
綜上，m的取值范圍是（4， ]∪{1+2 }
【解析】令2x=t，在方程t2﹣（m﹣1）t+2=0在[1，4]上有唯一解，對判別式和區間端點值進行討論，利用二次函數的性質和零點的存在性定理得出a的范圍．