Question

（本題滿分12分）已知函數.
（Ⅰ）若函數在區間（其中）上存在極值，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）求證：.

Answer 1

（1）（2）（3）略

（Ⅰ）∵，則。
當時，；當時，。
∴在上單調遞增，在上單調遞減 ∴在取極大值
∵在區間（其中）上存在極值
∴   ∴即m的取值范圍為。
（Ⅱ），記
則
令，則  ∵ ∴ 
∴在上單調遞增   ∴  從而  
∴在上也單調遞增  ∴  
則k的取值范圍為。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知恒成立，即，
令，則，
∴，，…，
疊加得：……

∴…    ∴。