Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA₁＝2，E，E₁，F分別是棱AD，AA₁，AB的中點．

(1)證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
(2)求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明　
法一　取A₁B₁的中點F₁，連接FF₁，C₁F₁，由于FF₁∥BB₁∥CC₁，
所以F₁∈平面FCC₁，

因此平面FCC₁，即為平面C₁CFF₁.，連接A₁D，F₁C，由于 CD，
所以四邊形A₁DCF₁為平行四邊形，因此A₁D∥F₁C.又EE₁∥A₁D，得EE₁∥F₁C.
而EE₁?平面FCC₁，F₁C?平面FCC₁，故EE₁∥平面FCC₁.
法二　因為F為AB的中點，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CDAF.
因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC.
又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁＝C，FC?平面FCC₁，CC₁?平面FCC₁，
所以平面ADD₁A₁∥平面FCC₁.又EE₁?平面ADD₁A₁，所以EE₁∥平面FCC₁.
(2)解　法一　取FC的中點H，由于FC＝BC＝FB，所以BH⊥FC.又BH⊥CC₁，CC₁∩FC＝C.所以BH⊥平面FCC₁.過H作HG⊥C₁F于G，連接BG.由于HG⊥C₁F，BH⊥平面FCC₁，所以C₁F⊥平面BHG.因此BG⊥C₁F，所以∠BGH為所求二面角的平面角．在Rt△BHG中，BH＝，
又FH＝1，且△FCC₁為等腰直角三角形，所以HG＝，BG＝＝，因此cos∠BGH＝＝＝，
即所求二面角的余弦值為.
法二　過D作DR⊥CD交AB于R，以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C₁(0,2,2)．
所以＝(0,2,0)，＝(－，－1,2)，＝(，3,0)．
由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.又CC₁⊥平面ABCD，
所以為平面FCC₁的一個法向量．
設平面BFC₁的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則由得即取x＝1，得
因此n＝，所以cos〈，n〉＝=.
故所求二面角的余弦值為.