Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O為AC與BD的交點，E為PB上任意一點．

(1)證明：平面EAC⊥平面PBD；
(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小為45°，求PD∶AD的值．

Answer 1

（1）見解析（2）∶2

(1)證明　因為PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC?平面EAC.
所以平面EAC⊥平面PBD.
(2)解　連接OE，

因為PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中點，故此時E為PB的中點，以點O為坐標原點，射線OA，OB，OE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz.
設OB＝m，OE＝h，則OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，＝(－m，m,0)，＝(0，－m，h)，向量n₁＝(0,1,0)為平面AEC的一個法向量，設平面ABE的一個法向量n₂＝(x，y，z)
則n₂·＝0，且n₂·＝0，
即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.
取x＝1，則y＝，z＝，則n₂＝，
∴cos 45°＝|cos〈n₁，n₂〉|＝＝＝，解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.