Question

【題目】已知函數f（x）是定義在D上的函數，若存在區間[m，n]D及正實數k，使函數f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數f（x）是k型函數．給出下列說法：
①f（x）=3﹣ 不可能是k型函數；
②若函數f（x）= （a≠0）是1型函數，則n﹣m的最大值為 ；
③若函數f（x）=﹣ x2+x是3型函數，則m=﹣4，n=0．
其中正確說法個數為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】分析：解答：解：對于①，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣ =1，f（4）=3﹣ =2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，
∴f（x）是 型函數，∴命題錯誤；
對于②，y= （a≠0）是1型函數，
即（a2+a）x﹣1=a2x2 ， ∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x1﹣x2= = ≤ ，
即n﹣m的最大值為 ；∴命題正確；
對于③，y=﹣ x2+x是3型函數，
即﹣ x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，
∴m=﹣4，n=0；∴命題正確；
綜上，正確的命題是②③．
故選：C．
【考點精析】關于本題考查的函數的定義域及其求法和函數的值域，需要了解求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能得出正確答案．