Question

【題目】某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了某種高新科技產(chǎn)品，現(xiàn)已進(jìn)入實(shí)驗(yàn)階段.已知實(shí)驗(yàn)的啟動(dòng)資金為10萬元，從實(shí)驗(yàn)的第一天起連續(xù)實(shí)驗(yàn)，第天的實(shí)驗(yàn)需投入實(shí)驗(yàn)費(fèi)用為元，實(shí)驗(yàn)30天共投入實(shí)驗(yàn)費(fèi)用17700元.

（1）求的值及平均每天耗資最少時(shí)實(shí)驗(yàn)的天數(shù)；

（2）現(xiàn)有某知名企業(yè)對該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行贊助，實(shí)驗(yàn)天共贊助元.為了保證產(chǎn)品質(zhì)量，至少需進(jìn)行50天實(shí)驗(yàn)，若要求在平均每天實(shí)際耗資最小時(shí)結(jié)束實(shí)驗(yàn)，求的取值范圍.（實(shí)際耗資=啟動(dòng)資金+試驗(yàn)費(fèi)用-贊助費(fèi)）

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）實(shí)驗(yàn)開始后，每天的試驗(yàn)費(fèi)用構(gòu)成公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，通過等差數(shù)列的求和公式計(jì)算出這天所投入的試驗(yàn)費(fèi)用，然后便可求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式求出天內(nèi)總計(jì)的試驗(yàn)費(fèi)用，然后再求出每天的平均試驗(yàn)費(fèi)用，利用基本不等式便可求出平均每天耗資最少時(shí)試驗(yàn)的天數(shù)；（2）先求出實(shí)際耗資的連續(xù)函數(shù)，，討論和的大小關(guān)系即可解得的取值范圍為．

試題解析：（1）依題意得，試驗(yàn)開始后，每天的試驗(yàn)費(fèi)用構(gòu)成等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，

∴試驗(yàn)30天共花費(fèi)試驗(yàn)費(fèi)用為，

解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

設(shè)試驗(yàn)天，平均每天耗資為元，則

．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，

綜上得，，試驗(yàn)天數(shù)為100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）設(shè)平均每天實(shí)際耗資為元，則

．．．．．．．．．．．8分

當(dāng)，即時(shí)，

，因?yàn)?/span>，

所以，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，

且，

綜上得，的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分