Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側棱上一點，已知.

（Ⅰ）證明:平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

(Ⅰ) 先證明，再證明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；

(Ⅱ)根據題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.

(Ⅰ)證：由已知得

又 平面，平面，，

而故，平面

平面，平面平面

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，

有，又，故

所以相似，故有，即

所以，以為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

，，，設平面的法向量為，則

令，則，是平面的一個法向量

設平面的一個法向量為

令，則

是平面的一個法向量

=

又二面角為鈍二面角，其余弦值為.