Question

已知兩個非零向量

a

=（a₁，b₁），

b

=（a₂，b₂），若條件p：“

a

∥

b

”，條件q：“關于x的不等式a₁x+b₁＞0與a₂x+b₂＞0的解集相同”．則條件p是q的（　　）

A．充分必要條件

B．非充分非必要條件

C．充分非必要條件

D．必要非充分條件

Answer 1

分析：先分別化簡p、q，對q的a₁、a₂、b₁、b₂分類討論即可得出結論．

解答：解：：∵兩個非零向量

a

∥

b

，∴a₁與b₁不全為0，a₂與b₂不全為0．
條件p：∵

a

∥

b

，∴a₁b₂-a₂b₁=0，即a₁b₂=a₂b₁，且a₁與b₁不全為0，a₂與b₂不全為0．
條件q：關于x的不等式a₁x+b₁＞0與a₂x+b₂＞0的解集相同．
①若a₁=a₂=0，b₁＞0，b₂＞0，則關于x的不等式a₁x+b₁＞0與a₂x+b₂＞0的解集都為R相同，可得a₁b₂=a₂b₁；
②若a₁=a₂=0，b₁＜0，b₂＜0，則關于x的不等式a₁x+b₁＞0與a₂x+b₂＞0的解集都為∅相同，可得a₁b₂=a₂b₁；
③若a₁=a₂=0，b₁b₂＜0，則關于x的不等式a₁x+b₁＞0與a₂x+b₂＞0的解集不相同，應舍去；
④若a₁＞0，a₂＞0，∵關于x的不等式a₁x+b₁＞0與a₂x+b₂＞0的解集相同，∴-

b1

a1

=-

b2

a2

，可得a₁b₂=a₂b₁；
⑤若a₁＜0，a₂＜0，∵關于x的不等式a₁x+b₁＞0與a₂x+b₂＞0的解集相同，∴-

b1

a1

=-

b2

a2

，可得a₁b₂=a₂b₁；
⑥若a₁、a₂兩個中只有一個等于0，則不滿足關于x的不等式a₁x+b₁＞0與a₂x+b₂＞0的解集相同的條件．
綜上可知：由q⇒p，當時反之不成立．因此，條件p是q的必要不充分條件．
故選D．

點評：正確分類討論是解題的關鍵．