Question

函數f（x）=|sin2x|+|cos2x|
（Ⅰ）求f（-

7π

12

）的值；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

4

]時，求f（x）的取值范圍；
（Ⅲ）我們知道，函數的性質通常指函數的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性等，請你探究函數f（x）的性質（本小題只需直接寫出結論）

Answer 1

分析：（I）把所給的自變量的值代入函數式，根據誘導公式化簡整理出結果．
（II）對函數式進行整理，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，根據所給的角的范圍寫出ωx+φ的范圍，根據三角函數的圖象得到函數的值域．
（III）根據上一問整理出的函數的解析式，得到函數的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性等．

解答：解：（Ⅰ）f(-

7π

12

)= |sin(-

7π

6

)|+|cos(-

7π

6

)| = |sin

π

6

|+|-cos

π

6

| =

1+ 3

2

2分
（Ⅱ）當x∈[0，

π

4

]時，2x∈[0，

π

2

]，則sin2x≥0，cos2x≥0…3分
∴f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)…5分
又∵x∈[0，

π

4

]
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]∴sin(2x+

π

4

)∈[

2

2

，1]
∴當x∈[0，

π

4

]時，f（x）的取值范圍為[1，

2

]．　 …7分
（Ⅲ）①f（x）的定義域為R；　　　　　　　　　　　　…8分
②∵f（-x）=|sin（-2x）|+|cos（-2x）|=|sin2x|+|cos2x|=f（x）∴f（x）為偶函數．　　　　　　　　　　　　　　　　　　…9分
③∵f(x+

π

4

)= |sin(2x+

π

2

)|+|cos(2x+

π

2

)| = |cos2x|+|sin2x| =f(x)，
∴f（x）是周期為

π

4

的周期函數；　　　　　　　　　　…11分
④由（Ⅱ）可知，當x∈[0，

π

4

]時，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴值域為[1，

2

]．　　　　　　　　　　　　　　　…12分
⑤可作出f（x）圖象，如圖所示：
由圖象可知f（x）的增區間為[

kπ

4

，

π

8

+

kπ

4

]（k∈Z），
減區間為[

π

8

+

kπ

4

，

π

4

+

kπ

4

]（k∈Z）          …14分

點評：本題考查三角函數的恒等變形及三角函數的性質，本題考查三角函數利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡，再進行三角函數的性質的運算．