Question

已知函數f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）在區間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據倍角公式和兩角和公式，對函數進行化簡，再利用T=

2π

2ω

，進而求得ω
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函數f（x）的解析式，再根據正弦函數的單調性進而求得函數f（x）的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

．
∵函數f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
∵0≤x≤

2π

3

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．
∴0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，即f（x）的取值范圍為[0，

3

2

]．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數式恒等變形，三角函數的值域．公式的記憶，范圍的確定，符號的確定是容易出錯的地方．