Question

定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x]，其中對于0≤x≤316時(shí)，函數(shù)f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1和函數(shù)g（x）=[x]•{x}-

x

3

-1的零點(diǎn)個數(shù)分別為m，n，則（　　）

A．m=101，n=313

B．m=101，n=314

C．m=100，n=313

D．m=100，n=314

Answer 1

分析：根據(jù)定義分別求出f（x）=0和g（x）=0，將函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為sin²[x]+sin²{x}-1=0和[x]•{x}=

x

3

+1，分別利用圖象討論兩個函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．

解答：解：由f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1=0得sin²{x}=1-sin²[x]=cos²[x]．
則{x}=

π

2

+2kπ+[x]或{x}=-

π

2

+2kπ+[x]，
即{x}-[x]=

π

2

+2kπ或{x}-[x]=-

π

2

+2kπ．
即x=

π

2

+2kπ或x=-

π

2

+2kπ．
若x=

π

2

+2kπ，∵0≤x≤316，
∴當(dāng)k=0時(shí)，x=

π

2

，由x=

π

2

+2kπ≤316，解得k≤50.3，即k≤50，此時(shí)有51個零點(diǎn)，
若x=-

π

2

+2kπ，∵0≤x≤316，
∴當(dāng)k=0時(shí)，x=-

π

2

不成立，由x=-

π

2

+2kπ≤316，解得k≤50.6，即k≤50，此時(shí)有50個零點(diǎn)，
綜上f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1的零點(diǎn)個數(shù)為50+51=101個．
∵{x}=

x，0≤x＜1 x-1，1≤x＜2 x-2.2≤x＜3 … x-315，315≤x＜316 x-316，x=316

，
∴[x]{x}=

0，0≤x＜1 x-1，1≤x＜1 2(x-2)，2≤x＜3 … 315(x-315)，315≤x＜316 316(x-316)，x=316

由g（x）=0得[x]•{x}=

x

3

+1，分別作出函數(shù)h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1的圖象如圖：
由圖象可知當(dāng)0≤x＜1和1≤x＜2時(shí)，函數(shù)h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1沒有交點(diǎn)，
但2≤x＜3時(shí)，函數(shù)h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1在每一個區(qū)間上只有一個交點(diǎn)，
∵0≤x＜316，
∴g（x）=[x]•{x}-

x

3

-1的零點(diǎn)個數(shù)為316-2-1=303個．
故m=101，n=303．
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的新定義題，利用定義作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．