Question

【題目】某工廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為C(x)，當年產量不足80千件時，C(x)＝x2＋10x(萬元)．當年產量不小于80千件時，C(x)＝51x＋－1 450(萬元)．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．

（1）寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式；

（2）當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）L(x)＝；（2）100千件.

【解析】

（1）根據題意，分段求得函數的解析式，即可求得；

（2）根據（1）中所求，結合基本不等式，求得的最大值即可.

（1）因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05×1 000x萬元，

依題意得：

當0<x<80時，L(x)＝(0.05×1 000x)－－250＝－＋40x－250.

當x≥80時，L(x)＝(0.05×1 000x)－－250＝1 200－.

所以L(x)＝

（2）當0<x<80時，L(x)＝－＋950.

此時，當x＝60時，L(x)取得最大值L(60)＝950萬元．

當x≥80時，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 200－200＝1 000.

此時x＝，即x＝100時，L(x)取得最大值1 000萬元．

由于950<1 000，

所以當年產量為100千件時，該廠在這一商品生產中所獲利潤最大，

最大利潤為1 000萬元．