【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
，
，平面
平面
，
.
（1）求證：
平面；
（2）求平面
與平面
夾角的余弦值，
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）結合題中數據在四邊形
中證得
，由平面
面，得
平面
，所以
，又
，可得
平面；（2）以
坐標原點，分別以
在的直線為
、
軸，在底面內點過點作垂線為
軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，分別求出平面
與平面
的法向量，然后計算其夾角，由二面角的平面角與法向量的關系得到答案.
解（1）
，
，
.
，根據勾股定理可知.
又
平面面，且平面
平面
，
平面.
.
又
，
平面.
（2）以坐標原點，分別以 在的直線為、軸，在底面內點過點作垂線為軸建立空間直角坐標系.
則
，
，
，
所以
，
，
設平面法向量為
，
則
，
取
，
，
平面一個法向量為
，
設平面法向量為
，
則
，
取
，
，
平面一個法向量為
，
由圖易知平面與平面夾角為銳角
所以平面 平面
成夾角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在數列
中，
，且對任意
，
成等差數列，其公差為
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，證明
成等比數列（）；
（3）若對任意，成等比數列，其公比為
，設
，證明數列
是等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓：
的四個頂點圍成的四邊形的面積為
，原點到直線
的距離為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知定點
，是否存在過
的直線
，使與橢圓交于
，
兩點，且以
為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著教育信息化2.0時代的到來，依托網絡進行線上培訓越來越便捷，逐步成為實現全民終身學習的重要支撐．最近某高校繼續教育學院采用線上和線下相結合的方式開展了一次300名學員參加的“國學經典誦讀”專題培訓．為了解參訓學員對于線上培訓、線下培訓的滿意程度，學院隨機選取了50名學員，將他們分成兩組，每組25人，分別對線上、線下兩種培訓進行滿意度測評，根據學員的評分(滿分100分)繪制了如下莖葉圖：
(1)根據莖葉圖判斷學員對于線上、線下哪種培訓的滿意度更高?并說明理由；
(2)求50名學員滿意度評分的中位數
，并將評分不超過、超過分別視為“基本滿意”、“非常滿意”兩個等級．
(i)利用樣本估計總體的思想，估算本次培訓共有多少學員對線上培訓非常滿意?
(ii)根據莖葉圖填寫下面的列聯表：
并根據列聯表判斷能否有99.5％的把握認為學員對兩種培訓方式的滿意度有差異?
附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為
，深3m．如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為150元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋子中有四張卡片，分別寫有“瓷、都、文、明”四個字，有放回地從中任取一張卡片，將三次抽取后“瓷”“都”兩個字都取到記為事件
，用隨機模擬的方法估計事件發生的概率.利用電腦隨機產生整數0，1，2，3四個隨機數，分別代表“瓷、都、文、明”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取卡片三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
232 | 321 | 230 | 023 | 123 | 021 | 132 | 220 | 001 |
231 | 130 | 133 | 231 | 031 | 320 | 122 | 103 | 233 |
由此可以估計事件發生的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表：
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（1）求y關于t的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的焦距為
，點
在橢圓上.
（1）求橢圓方程；
（2）設直線
：
與橢圓交于
，
兩點，且直線
，
，
的斜率之和為0.
①求證：直線經過定點，并求出定點坐標；
②求
面積的最大值.
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