Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)面⊥底面，，底面為直角梯形，其中

，O為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求銳二面角A—C1D1—C的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

(I)證明,即證:四邊形AB1CO為平行四邊形.

(II)為的中點(diǎn)，，又側(cè)面⊥底面，故⊥底面，然后建立直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角,先求二面角兩個面的法向量,然后再求法向量的夾角,根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)來解.

（Ⅰ）證明：如圖，連接，

則四邊形為正方形，

，且

故四邊形為平行四邊形，

，

又平面，平面

平面

（Ⅱ）為的中點(diǎn)，，又側(cè)面⊥底面，故⊥底面，

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

，

，

設(shè)為平面的一個法向量，由，得，

令，則

又設(shè)為平面的一個法向量，由，得，令

，則，

則，故所求銳二面角A—C1D1—C的余弦值為

注：第2問用幾何法做的酌情給分.